\section{2001理论型}
\hypertarget{2001lilun1}{一、}\footnote{同类型题见：\hyperlink{2010a5}{2010年第五题}}（$20'$）一个质量为$\mu$的粒子在势阱
$$V(x)=\begin{cases}\infty,&x<0,x>2a\\ A\delta(x-a),&0<x<2a\end{cases}$$
中运动，其中$A>0$为常数。求系统第三激发态的能量本征值。






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\section*{2001理论型解答}

\hypertarget{2001lilun1}{一、}\footnote{同类型题见：\hyperlink{2010a5}{2010年第五题}}（$20'$）一个质量为$\mu$的粒子在势阱
$$V(x)=\begin{cases}\infty,&x<0,x>2a\\ A\delta(x-a),&0<x<2a\end{cases}$$
中运动，其中$A>0$为常数。求系统第三激发态的能量本征值。

方法一：

作坐标平移，$x'=x-a$，则势函数可改写为：
$$V(x')=\begin{cases}\infty,&|x'|>a\\ A\delta(x'),&|x'|<a\end{cases}$$

这是个对称位势，粒子束缚定态有确定的宇称。根据节点定理，基态无节点具有偶宇称；第一激发态有一个节点（必在$x=0$点），具有奇宇称；第二激发态宇称有两个节点，具有偶宇称；第三激发态有三个节点，具有奇宇称。

奇宇称态中坐标原点$x'=0$是节点，而$\delta$只在原点起作用，影响不到奇宇称态。于是在此势阱中，粒子第三激发态的能级与没有$\delta$势的无限深势阱中的第三激发态能级一样，即：$E_4=\cfrac{4^2\pi^2\hbar^2}{2\mu(2a)^2}=\cfrac{2\pi^2\hbar^2}{\mu a^2}$。

方法二：

将$V(x)=A\delta(x-a),0<x<a$视为微扰$H'$。无$\delta$势时，波函数和能级分别为：
$$\phi_n^0=\frac{1}{\sqrt a}\sin\frac{n\pi x}{2a},\qquad E_n^0=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{8ma^2}$$
\begin{align*}
&E_4^1=\langle \phi^0_4|H'|\phi_4^0\rangle=\frac{A}{a}\int_0^{2a}\sin^2(\frac{2\pi x}{a})\delta(x-a)dx=0\\
&E_4^2=\sum_{k\ne n}\frac{|H'_{k4}|^2}{E_4^0-E_k^0}=0\\
&\text{其中：}H'_{k4}=\langle \phi_k^0|H'|\phi_4^0\rangle=\frac{A}{a}\int_0^{2a}\sin\frac{k\pi x}{2a}\sin\frac{2\pi x}{a}\delta(x-a)dx=0
\end{align*}
即微扰对第三激发态不起作用，能量为：$E_4=\cfrac{2\pi^2\hbar^2}{\mu a^2}$。

方法三：先作坐标平移，再用微扰。

作坐标平移，$x'=x-a$，则势函数可改写为：
$$V(x')=\begin{cases}\infty,&|x'|>a\\ A\delta(x'),&|x'|<a\end{cases}$$
将$V(x')=A\delta(x')$视为微扰，为了方便，将$x'$仍写为$x$，则无微扰时，势阱的波函数、能级分别为：
$$\phi_n=\begin{cases}\sqrt{\frac{1}{a}}\sin\frac{n\pi x}{2a},&n\text{为偶数}\rightarrow \text{奇宇称}\\
\sqrt{\frac{1}{a}}\cos\frac{n\pi x}{2a},&n\text{为奇数}\rightarrow\text{偶宇称}\end{cases}\qquad E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{8ma^2}$$

一级修正：

当$n$为偶时（两态均为奇宇称，微扰算符$H'$为偶宇称），
$$H_{nn}'=E_n^1=\frac{A}{a}\int_{-a}^{a}\sin^2\frac{n\pi x}{2a}\delta(x)dx=0$$

当$n$为奇时（两态均为偶宇称，微扰算符$H'$为偶宇称），
$$E_n^1=H'_{nn}=\frac{A}{a}\int_{-a}^{a}\cos^2\frac{n\pi x}{2a}\delta(x)dx=\frac{A}{a}$$

二级修正：
$$E_n^2=\sum '\frac{|H'_{kn}|^2}{E_n^0-E_k^0}$$

当$n$为奇时：\\
$k$为奇，$H'_{kn}=\frac{A}{a}\int_{-a}^a\cos\frac{k\pi x}{2a}\cos\frac{n\pi x}{2a}\delta(x)dx=\frac{A}{a}$。\\
$k$为偶（一态为奇宇称，一态为偶宇称，算符为偶宇称），
$H'_{kn}=\frac{A}{a}\int_{-a}^a\sin\frac{n\pi x}{2a}\cos\frac{n\pi x}{2a}\delta(x)dx=0$。

当$n$为偶时，$\phi_n(0)=\sqrt{\frac{1}{a}}\sin\frac{n\pi 0}{2a}=0$，$H'_{kn}=0$。

本题中，第三激发态为第四能级，故，微扰矩阵元均为0，故微扰不起作用。
判断矩阵元是否为0 ，还可以根据对称性来判断。算符为偶宇称，两态宇称不同，矩阵元为0;算符为奇宇称，两态宇称相同，矩阵元为0 。根据这个，本问题中$H'$为偶宇称，所以当$n$为奇，$k$为偶时，$H'_{kn}=0$。对称性问题及见教材相关章节。

{ 说明：}{ 方法二和方法三是从不同角度用微扰的方法来讨论问题，微扰法毕竟是近似法，比不上方法一的准确结论。}

